“解密新高考 适应新常态”
——高考改革背景下的高中学校变革

[数学]《利用正弦定理解三角形 》反思式课例研修报告

作者:宁海燕 彭一高     2017-09-22

序言: 《新课程改革纲要》提出,要"改变课程实施过于强调接受学习,死记硬背、机械训练的现状,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力".对这一目标本人认为更加注重培养学生作作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。高中生正好处于创新思维的培养期这一关键年龄段,作为数学教师需因势利导、培养学生的创新思维能力,利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中,体现对弱势学生更多的关心。教材解读与目标筛选

1.教材说明:人教A版必修五第一章第1课时

2.课题:正弦定理及其应用

3.课型:新授课

4.课时:1课时

5.教学内容分析

(1)教学主要内容:本节主要内容是正弦定理的发现、证明及其应用。

(2)教材编写特点 
 本节课在单元中的地位

本节内容安排在第一章第一课时,正弦定理第一课时,是在学生学习了三角函数,向量等知识之后学习的,是三角函数知识的应用,同时,作为三角形中的一个定理,揭示了任意三角形中边与角之间的关系,此外本节内容也是对初中解直角三角形内容的延伸与拓展。

教材编写意图与特点

正弦定理这一节内容是从以前初中教材逐步分离并划归到高中教材的一部分内容,从知识体系上来看,应属于三角函数这一章,从研究方法上来看,又属于向量应用的一方面。教材用向量作为工具推导出正弦定理,并应用其解斜三角形问题和一些实际问题。本节课是用代数方法解决几何问题的典型内容之一。

6.学情分析

(1)学生已有知识基础

学生在初中已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些问题。在数学必修4中,学习了三角函数、向量等有关知识。此外学生具备较好的几何基础。

(2)学生已有的生活经验和学习该内容的经验

学生在初中直角三角形部分的习题中见过正弦定理的结论,并且有一些学生能用面积法来证明本节的主要定理。同时在学习三角函数有关知识时,对三角函数式的恒等变形掌握得很熟练。能利用向量有关知识解决简单的数学应用问题。

(3)学生的思维水平以及学习风格等

高一学生,在观察分析、解决问题的能力方面还比较欠缺。同时我所在的班级学生学习基础相对较好,知识点掌握得比较扎实,具有较好的探索创新能力,能够及时发现并解决问题。除此之外学生还比较热衷于自主探究的学习方式

(4)学生学习该部分内容可能遇到的问题 

部分同学可能对三角函数及向量有关知识点有所遗忘,导致定理的证明不能顺利进行,阻碍学生对定理的理解,从而影响学生解题的思路,打消学生学习积极性。另外,学生在发现已有知识和新学知识之间的联系,应用正弦定理解决实际问题过程中,可能会对所讨论问题考虑不全面,对于定理的证明感到困惑。

(5)学生学习的兴趣,学习方法,学法分析 

本节从学生日常生活中的实际问题引入,设计了自主探究活动,以猜想,证明,归纳,应用为线索,把问题展现在学生面前,符合学生的思维特点。同时采取“情境思考——提出问题——研究特例——归纳猜想——实验探究——理论推导——解决问题”的学习方法,帮助学生提高解决问题的能力。使学生逐步理解正弦定理的形成过程,体验蕴涵在其中的思想方法。在这一过程中学生主体作用能得到了充分的发挥,体现了学生的学习是在教师指导下的“再创造”过程。

7.教学目标

(1)知识与技能 

掌握正弦定理的内容及其证明方法。让学生在创设的问题情境中,主动地去发现正弦定理和推证正弦定理。会初步应用正弦定理解决解三角形的两类问题 

(2)过程与方法 

通过对直角三角形边角间数量关系的探索发现正弦定理,运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律。

(3)情感态度价值观 

在利用向量证明正弦定理的过程中,体会向量工具在解三角形的度量问题中的作用,进一步认识和体会数学知识之间的普遍联系与辩证统一。使学生在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,实现共同探究、教学相长。

一、    教学设计与实践改进

1. 教学设计:

“数学教学是数学活动的教学”,“数学活动是思维的活动”,新课标也在倡导独立自主,合作交流,积极主动,勇于探索的学习方式。基于这种理念的指导,在教法上采用探究发现式课堂教学模式,在学法上以学生独立自主和合作交流为前提,在教师的启发引导下,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,结合现代多媒体教学手段,通过观猜想—验证--发现--证明--应用等环节逐步得到深化,体验数学知识的内在联系,增强学生由特殊到一般的数学思维能力,逐步培养学生探索精神和创新意识。

教学过程的主要环节:

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整个教学过程的概述:
(1)自主学习:1)学生课前通过阅读课本、自己思考与计算、相互交流、查阅资料等方式完成自主学习部分的内容,并把自己的困惑与疑问记录下来。。2)上课前老师检查学生的完成情况,并且要关注学生记录下来的困惑和疑问,在课堂上重点研究解决。

(2)引领探究:学生通过独立思考、组内交流等方式研究这个问题,研究清楚的小组可派代表上台给大家讲解;科学证明,使正弦定理的内容更加完整、更科学;学生交流正弦定理的证明方法,拓展学生的眼界和知识范围,培养学生的交流能力;通过机器验证,让学生体会知识的趣味性;明确正弦定理的内容,加深对正弦定理内容的理解和记忆;老师示范性书写,让学生养成规范书写的好习惯;学生从基本、最简单的练习题入手,增加学生学习的自信心,让学生体会成功的喜悦;通过“挑战自我”中的题,让学生认识到:利用正弦定理解三角形,有时会出现一解,有时候会出现两解,甚至有时会出现无解的情况,为下一节课讨论“解的个数”埋好伏笔。

(3)训练检测:学生在课堂上独立完成,老师巡视,每组第一个完成的学生老师给判,该学生负责给本组其它成员判,一是达到了练习的目的,二是老师了解了学生对知识的掌握情况,为下一步的教学工作打好了基础。

(4)总结升华:1)总结本节课学习的主要内容:首先,正弦定理的发现过程和证明方法。其次,正弦定理的内容及能解决的问题。最后,正弦定理的简单应用。2)今天学习的正弦定理和后面将要学习的余弦定理,是初中直角三角形知识的拓展和延续,为解决与测量和几何计算有关的实际问题打好基础

(5)课后再研究:用正弦定理解三角形,什么时候有一个解,什么时候有两个解,什么时候无解?用今天学习的正弦定理,能不能解决章前序言中的“台风”问题?如何解决?

2. 实践改进

(1)优点:所选引例针对性强,在三角形一边绕定点转动过程中,将边长随角度的变化情况直观展现给学生,便于学生理解与掌握;探索研究过程中,由简单的直角三角形中的研究过渡到一般的三角形中的边角关系的研究,符合学生的思维特点;正弦定理的证明方法简单易懂,分析过程条理清晰;整体流程简单明了,重难点突出;定理的说明简明扼要,对于应用正弦定理所能解决的两类问题归纳很详细;所选例题及习题针对性强,例题由易到难,能很好的巩固课堂所学,符合学生思维特点。 

(2)缺点:在一般三角形中探索正弦定理时,证明过程采用分割三角形,将一般三角形通过做一边上的高分解为两个直角三角形,回到前面的证明方法上,限制了学生的思考;用向量法证明正弦定理时,教师直接给出证明过程,不能帮助学生较好的突破学习难点;教学中,教师没给出正弦定理的变式,加大了学生做练习的难度。

二、观点提炼与研修体会

教学理念与新课改在数学教学中的改革应用有机的结合了起来,在本节课中主要有以下体会:(1)导入新课时所选用引例要经过认真的选择,以便调动学生学习的积极性,顺利完成教学任务。(2)安排学生进行自主探索,让学生体会知识的形成过程,使学生对定理内容的理解更加深刻。(3)采用多种方法证明正弦定理,发散学生思维。引导学生用所学知识解决新问题,做到温故而知新。(4)对本节内容所涉及到的知识点及做题所涉及到的一般的处理方法给出适当总结,解决学生听得懂、做题难的问题。

《正弦定理》是一节定理发现探索应用课,教师带领学生从已有知识出发,通过对实际问题的探索,构建数学模型,利用观察-猜想-验证-发现正弦定理,并从理论上加以证实,最后进行简单的应用。教学中,立足于“数学教学是数学活动的教学”这一基本理念,经历提出问题,分析问题,解决问题、简单应用等过程,使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”,教学目标得到了较好的落实。教学中,力争倡导自主探索、合作交流的学习方式学学习中的作用,鼓励学生在课本的基础上大胆创新,用多种方法,以正弦定理的发现为契机,开展探究式教学模式,发挥多媒体在数证明了正弦定理,激发了学生思维,渗透了转化、划归、分类讨论、数形结合思想,发挥学生学习的主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程。

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